电四极子电势推导【电四极子电势和电场强度的计算】

　　摘要：电四极子可以看成由两个大小相等、方向相反的电偶极子组成的系统，所以在求解电四极子的问题时可借助电偶极子的结果进行求解。本文介绍了一种由电偶极子的电势和电场强度求解电四极子电势、电场强度的教学方法。
　　关键词：电偶极子；电四极子；电势；电场强度
　　中图分类号：TM151 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）21-0135-02
　　我们在讲授电多极子专题时，对普通学生来说通常是比较抽象的课题之一。现行教材[1]对电偶极子的电位和电场强度做了简单描述，但有关电多极子的问题仅出现在个别习题中，学生经常会不知如何利用已学过的知识来处理此类问题，我们认为这主要是由于教学方法造成的。
　　求解电多极子的问题通常有以下两种方法。其一是用电动力学[2-3]的逐级近似方法，通过求多极子的迭加，由小区域分布的电荷体系在远处产生的电场表达式中的第三项（U=■■+■cosθ+■■（3cos2θ-1）+...），即电四极子展开或更高级展开计算。头两项被认为是单极子和偶极子，第三项为四极子，后面各项依次称为八极子、十六极子等。电四极子展开或更高级展开是对泰勒展开取高阶项得到的，纯粹是一种数学计算方法。由多极子展开得到的表达式形式上比较简单，但由于是纯数学推导，所以比较抽象。
　　其二是用数学物理方法来求解[4，5]，这就涉及到一些复杂的数学物理方程（如勒让德多项式），会给我们的计算带来很大的麻烦。对于低年级的学生来说，要通过教学使其掌握这两种方法也属不易。本文将介绍由电偶极子的电场和电位来求解电四极子的电场和电位的一种方法。
　　一、电四极子中垂线上的电场强度
　　例：如图1所示的电四极子，设q和l都已知，P点到正方形的中心O距离为r，PO与正方形的一对边平行，求P点的电场强度及电位分布。
　　如果两个偶极子偶极矩相等而方向相反，两者相距很近，就构成电四极子。电四极子可看成是两个偶极子的迭加。这个题目可以考虑成两个电偶极子由于位置差异引起的误差从电偶极子出发进行计算。
　　利用偶极子在中垂线上的场强分布：E=■·■
　　如图1所示，将本题中的电四极子看作分别由（1）（4）和（2）（3）两个偶极子的组合，则有偶极子（1）（4）在中垂线上P点的电场强度大小为：
　　E14=■·■，该电场强度的方向向下，偶极子（2）（3）在中垂线上P点的电场强度为：E23=■·■，该电场强度的方向向上，P点处的合场强的大小为：E=E23-E14=■·■-■，方向向上。
　　由x≥l，上式可以用Taylor公式（1+x）α=1+■x+■x2+......展开并取二级近似，有：
　　E（P）=■·■-■≈■·1+■+■-1-■+■ （1）
　　需要说明的是，当求出电场强度后，这里不能直接由电位的定义，即通过求（1）式中电场强度E（P）对距离r的积分（U=-■■dr）来求P点的电位。原因是E（P）不是沿着方向的，而是垂直于r方向的合场强。
　　这个题目从整体看，它的电偶极矩之和为零。如果我们想要利用空间任意一点的电偶极子电位表达式U（P）=■·■）先求出电四极子电位，再由E=-？荦U求出中垂线上P点的电场强度。此时，由于电偶极矩P和位置矢量r之间的夹角为90°，可得中垂线上任意一点电偶极子的电位为零，但电位的梯度不为零，所以不能使用电偶极子电位公式直接计算电场强度。
　　二、电四极子中垂线上的电位
　　考虑P点不在中垂线上，如图2所示，在极坐标下P点的坐标为（r，θ），先考虑空间任意一点P点的电位：
　　U（P）=U1+U2+U3+U4=（U1+U4）（U2+U3）
　　由偶极子的产生的电场的电位可知，偶极矩为P=ql的电偶极子在空间任意一点P处的电位为：U（P）=■·■（r≥l），这里的r指的是l中点到P点的位矢。
　　设P点相对于偶极子（1）（4）和（2）（3）的位矢分别为r1，r2，对应的与极轴的夹角分别为θ1，θ2，则有：U1+U4=■·■=■·■
　　U2+U3=■·■
　　故 U=■·■-■
　　又由几何关系r1sinθ1=rsinθ=r2sinθ2，且r1=r+■cosθ，r2=r-■cosθ，化简，略去二阶小量得U=■·■-■=-■-■ （2）
　　可以看出，当P点为空间任意一点时，求得的电位表达式中同时含有sinθ和cosθ，所以无论θ取0°或90°时都会使（2）式中的电位为零。
　　对三维球坐标系（r，θ，φ）下求电场和电位的问题，我们可以简化其中一点，只讨论平面上电场和电位的分布。因此，关系式中E=-？荦U的？荦运算应该有两项，分别在位矢r方向和垂直于位矢r的方向，即，
　　Er=-■=-■ （3）
　　Eθ=-■=■=■=■ （4）
　　当θ=0°，可以得到中垂线上P点的电场强度，此时Er=0，E（P）=Eθ=■，在垂直于位矢的方向。
　　此外，可由（3）式和（4）式中的电场强度Er或Eθ反求空间任意一点P点的电位，得
　　U=-■-■dr=-■■dθ
　　=-■
　　结果和（2）式相同，当θ=0°，可得中垂线上P点的电位。
　　三、结论与讨论
　　利用电偶极子电势和电场强度的表达式可以简化电四极子电势和电场强度的求解方法。需要注意的是，当要通过先求电位再求电场强度的方法求中垂线上电四极子的电场强度时，不能由空间任意一点的电偶极子电位表达式直接计算。而应该先得到空间任意一点的电四极子的电位表达式，求其在位矢方向和垂直位矢方向的导数，得到电四极子在空间任意一点的电场强度表达式，再代入特殊角（θ=0°）得到中垂线上电四极子的电场强度。
　　四极子可以看成是由大小相等、方向相反的偶极子组成的系统。一般情况下，这样的系统，电荷不一定是在正方形的顶点上。因此，以电荷在正方形的顶上为例进行计算，可能过份特殊了些。至于将该法推广到任意四极子的计算也不难处理，在此不再赘述。
　　用电偶极子的电位和电场强度公式计算电四极子电势的方法，使不具备电动力学及数学物理等知识的学生也能方便地接受，尤其是对低年级学生和非物理专业基础课更为适用。
　　参考文献：
　　[1]赵凯华，陈熙谋.电磁学（上册）[M].第二版.北京：高等教育出版社，1985：83-92.
　　[2]郭硕鸿.电动力学[M].第二版.北京：高等教育出版社，1997：84-91.
　　[3]徐守淳.四极子电势的简化计算和电四极矩教学的一种思路.内蒙古师范大学学报（自然科学版）[J].1999，28（4）：25-28.
　　[4]梁昆淼.数学物理方法[M].第三版.北京：高等教育出版社，1998：297.
　　[5]陈秋成.电四极子电势的数学物理方法.衡阳师范学院学报[J].2005，26（3）：50-53.
　　基金项目：云南大学资源环境与地球科学学院地球物理系教改项目资助
　　作者简介：白春华（1981-），女，云南玉溪人，博士学位，2010年6月毕业于中国科学院地质与地球物理研究所，现任教于云南大学资源环境与地球科学学院地球物理系，讲师，研究方向：地磁学、电磁学。